#import "@preview/touying:0.6.1": *
#import themes.aqua: *
#import "@preview/pinit:0.2.2": *

#show: aqua-theme.with(
  aspect-ratio: "16-9",
  config-info(
    title: [概率论],
    subtitle: [Subtitle],
    author: [数学主义],
    date: datetime.today(),
    institution: [Institution],
  ),
)
#set text(font: ("Calibri", "Microsoft YaHei"), weight: "regular", size: 25pt)

#title-slide()

#outline-slide()

= 条件概率

== 三门问题


三门问题（Monty Hall problem）是一个源自美国电视节目《Let's Make a Deal》的游戏。在这个游戏中，参赛者面前有三扇门，其中一扇门后有一辆汽车，另外两扇门后各有一只山羊。参赛者选择一扇门后，主持人会打开另一扇门，门后是一只山羊，然后询问参赛者是否要换门。

---

- 三扇门：有三扇关闭的门，其中一扇后面是一辆汽车，另外两扇后面各是一只山羊。

- 选手选择：你选择了一扇门，但还没打开。

- 主持人打开：主持人知道每扇门后面是什么，他会打开剩下两扇门中的一扇，并且一定是一扇后面是山羊的门。

- 是否换门：主持人问你，是否要换到另一扇仍然关闭的门。

= 贝叶斯公式

== 用法

- 乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；

- 全概率公式是求“最后结果”的概率；

- 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因”的概率。

==  贝叶斯公式

设 $A_1, A_2, dots, A_n$ 是一组互斥的概率为正的事件，并且它们构成样本空间的一个分割。

那么对任意事件 $B$ 而言，只要 $P(B)>0$，就有
$ P(A_i|B) #pause &= P(A_i inter B) / P(B) #pause = (P(A_i)P(B|A_i))/P(B) \
  #pause &= frac(P(A_i)P(B|A_i),P(A_1)P(B|A_1) + dots.c + P(A_n)P(B|A_n)). $

== 医学中的应用

设某种罕见疾病的发病率为万分之一。现在有一种检查方法，已知患有此病的人被检出阳性（提示患病）的概率为 95%，不患此病的人被检出阴性（提示无病）的概率为 99%. 那么，在检查结果为阳性的情况下，患有此病的概率是多少？

---

记 $A$ 为事件“患有此病”，记 $B$ 为事件“检查结果为阳性”。那么由题设可知
$
  P(A) &= 0.0001, P(macron(A)) &= 0.9999 \
  P(B|A) &= 0.95, P(B|macron(A)) &= 0.01
$

---

由贝叶斯公式可知，在检查结果为阳性的情况下，患有此病的概率是
$
  P(A|B) #pause &= frac(P(A)P(B|A),P(A)P(B|A) + P(macron(A))P(B|macron(A))) \
    #pause &= frac(0.0001 times 0.95 , 0.0001 times 0.95 + 0.9999 times 0.01) \
    #pause &approx 0.94%
$

== 贝叶斯公式

设 $A_1, A_2, dots, A_n$ 是一组互斥的概率为正的事件，并且它们构成样本空间的一个分割。

那么对任意事件 $B$ 而言，只要 $P(B)>0$，就有
$ #pin(3)P(A_i|B)#pin(4) = frac(#pin(1)P(A_i)#pin(2)P(B|A_i),P(A_1)P(B|A_1) + dots.c + P(A_n)P(B|A_n)). $

#pause
#pinit-highlight(1, 2)
#pinit-point-from(2)[先验概率]
#pause
#pinit-highlight(3, 4)
#pinit-point-from(4)[后验概率]